ベクトル空間、ユークリッド空間の定義

今回は、ベクトル空間、ユークリッド空間の定義についてまとめてみました。

ベクトル空間

定義

ベクトル空間というのは、成分が複素数の集合 C からとってきた数からなる、
m 次の列ベクトル全体の集合のことです。

性質

これは読み飛ばしても正直そんなに問題はありませんが、細かな性質についてです。

▷u, v ∈ ならば u + v ∈

▷α∈Cかつu∈ ならばαu∈

▷u, v ∈ ならばu+v=v+u.

▷u, v, w ∈ ならば
u + (v + w) = (u + v) + w.

▷零ベクトルと呼ばれるベクトル 0 が存在し てu+0=uがすべてのu∈に対して成り立つ。

▷u ∈ に対して、−u ∈ が存在して u + (−u) = 0 が成り立つ。

▷α,β∈Cかつu∈ ならば α(βu) = (αβ)u.

▷α∈Cかつu, v ∈ ならば α(u+v) = αu+αv.

▷Ifα,β∈Cかつu∈ ならば (α+β)u = αu+βu.

▷u∈ ならば1u=u.

長々と述べましたが、外積ではなく、内積として扱う、というだけのことです。

ユークリッド空間

これと類似したもので、

成分が実数からなる列ベクトルからなるものも考えられますね。
それを と書く。これは m 次のユークリッド空間として知られています。

まとめ

• ベクトル空間：成分が複素数のm 次の列ベクトル
  外積ではなく、内積として扱う。

 

• ユークリッド空間 ：成分が実数のm 次の列ベクトル