ベクトル空間、ユークリッド空間の定義

勉強

今回は、ベクトル空間、ユークリッド空間の定義についてまとめてみました。

ベクトル空間

定義

ベクトル空間というのは、成分が複素数の集合 C からとってきた数からなる
m 次の列ベクトル全体の集合のことです。

性質

これは読み飛ばしても正直そんなに問題はありませんが、細かな性質についてです。

▷u, v ならば u + v

▷αCかつu ならばαu

▷u, v  ならばu+v=v+u.

▷u, v, w ならば
u + (v + w) = (u + v) + w.

零ベクトルと呼ばれるベクトルが存在し てu+0=uがすべてのuに対して成り立つ。

▷u に対して、−u が存在して u + (−u) = 0 が成り立つ。

▷α,βCかつu ならば α(βu) = (αβ)u.

▷αCかつu, v  ならば α(u+v) = αu+αv.

▷Ifα,βCかつu ならば (α+β)u = αu+βu.

▷u ならば1u=u.

長々と述べましたが、外積ではなく、内積として扱う、というだけのことです。

ユークリッド空間

これと類似したもので、

成分が実数からなる列ベクトルからなるものも考えられますね。
それを と書く。これは m 次のユークリッド空間として知られています。

まとめ

  • ベクトル空間:成分が複素数のm 次の列ベクトル
    外積ではなく、内積として扱う。

 

  • ユークリッド空間 :成分が実数のm 次の列ベクトル

 

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