微分積分と位置、速度、加速度の関係。高校物理と大学物理の違い。【演習と共に学ぶ大学物理、力学】

今回は高校で物理選択だった人がつまづきやすい、大学物理の説明をしていこうと思います！

微分積分を使う物理

さて、高校物理と大学物理の大きな違いはこれでしょう。
「微分積分」これを使うかどうか。
きっと大学物理で一番最初の難関でしょう。
また、高校物理ではなかなか出なかったベクトルも現れます。

よく使うからこそ書き方が変わってくるのもポイントです。
ベクトルは太字、物理量は斜体、単位・数字・数学記号は立体で書きます。

ベクトル：大きさだけでなく、向きも持った量
スカラー：大きさのみで表され、方向をもたない量

そしてややこしい微分記号ですね。
微分積分と言っていますが、力学での微積では主に「t(時間)」で微分したり積分したりします。

F(t)を微分したものを皆さんはどのように表しますか？
高校物理までならF'(t)（エフダッシュ）が多いでしょう。
大学からは
F(t) → F(t)（エフドット） → F(t)（エフツードット）
または、

という風に表します。
「・（ドット）」が文字の上にあると、微分されていることになりますね。

位置、速度、加速度

また、位置、速度、加速度に深い関係があることは高校物理でお気づきかもしれませんが、
大学ではこの関係と、「位置」をうまく使う必要があります。

上の関係図を見て欲しいのですが、まず位置を「r」、速度を「ｖ」、加速度を「α」と表すことを覚えましょう。
また、重要なポイントとして、
位置（r）を時間で微分したものが速度（v）。速度（v）を時間で微分したものが加速度（α）。
となります。
この理由はまた記事を詳しく出そうと思います。
よって位置（r）を時間で二重微分したものが加速度（α）。と言えます。

高校物理で習った

この式が実はtの微分でできていることがわかりますね。

次に位置をベクトルで詳しく示すときに、r = (x,y)と示すことが増えてきます。
上の情報を踏まえて、

v = (x・,y・)
α= (x・・,y・・)であることがわかります。

実際に解いてみましょうか。

例題

どうですか？
解けたでしょうか。では解説です。

このように位置から、速度と加速度を求めることができます。

まとめ

微分の表し方
F(t) → F・(t)（エフドット） → F・・(t)（エフツードット）

位置（r）を時間で微分したものが速度（v）。
速度（v）を時間で微分したものが加速度（α）。

どうでしょうか、理解は進みましたか？